イラストレーションを保存できません

ネットワークストレージであれば、あくまでもストレージや該当フォルダのアクセス権限になります。

よってIllustratorではなく、ストレージ側のその設定などを確認することになりますし、

管理者が別におられるならその方に確認・依頼されるべきでしょう。

もちろん、monokanoさんの仰るように、それ自体が推奨されるわけではありません。

ネットワーク経由の［開く／保存する］といった作業は、下記の文書で注意書きされているように様々な不確定要因がからみます。したがって、アプリ側で完全動作させること自体ができないのです。

ネットワークやリムーバブルメディアでの作業（Illustrator/InDesign）

ネットワークの構成、ソフトウェアおよびハードウェアの環境、そしてそれらの設定などによっては、エラーや予期しない問題が発生する可能性があります。

「B. 推奨ワークフロー」で作業するのが最善でしょう。