イラストレーターｃｓ６がインターネットに接続でずで認証が得られません。

まずは全般的に、下記についてチェックしてみてください。

• OSのファイアウォール周りの設定
• セキュリティソフトによるネットワークのアクセス制限
• hostsファイルのリセット
  https://helpx.adobe.com/jp/x-productkb/policy-pricing/activation-network-issues.html

もしWindowsをお使いの場合は下記も確認してみてください。

• Internet Explorerの、インターネットオプション→接続タブ→LANの設定→プロキシサーバーのチェックがONの場合はOFFにする

他にありえる外的要因としては下記が想定されます。

• ルーターや外部のファイアーウォール機器の接続関連
• モバイル環境の場合は固定回線環境にする
• 無線LAN利用時は有線で接続する

いずれにしても今回、OSバージョン等も不明ですし、なによりCS6はもう6年半以上にパッケージ版の販売が終了しているものです。

今回のインストールが初めてとは思えないので、その点も確認が欠かせません。