イラレにFOT-キアロ Stdというフォントを追加したいのですがお気に入り登録やライブラリ追加はできてもアドビクラウド上にもイラレ上にもインストールができません。何度もフォント→クラウドをぐるぐるさせられます。どこにインストールできるボタンすら見つけられません。

Adobe Fontsでライブラリに追加したんですねたぶん。
以下の手順で確認してみてください。
 

Creative Cloud アプリで、右上の f をクリックする

と、「追加したフォント」が一覧できます。
FOT-キアロ Std(1) が見えていて「アドビアプリで使用」になっていれば、追加はされています。
インストールされている、ということです。

Illustrator上で、ドキュメントを開いて、文字パネル（もしくはメニューの 書式 > フォント）で探してみましょう。
フォントのリストは、最近使ったもん > 和文フォント > 欧文フォント の順で並んでいるので、マウスホイールでかっ飛ばすと欧文のほうに行ってしまいます。最初はじわじわ探してみてください。

もしくは、文字パネルでフォント名のフィールドを選択して「キアロ」と入力してみましょう。
使用可能であれば候補として出てきます。やったね。

それでもだめな場合：
いったん落ち着いて、質問の練習だと思って、リンク先のテンプレを参考に、もろもろの情報を追加してください。

該当のフォントはフォントワークスLETS等で提供されているフォントですから、LETSサイトでログインしてのアクティベート＋LETSアプリのインストールとログインをしていないとインストールされてませんが、そこは大丈夫でしょうか。

LETSについてはLETSのサポートに確認する必要があります。
 

また「スクールで共有されているので無料版」というのは何を指しているのでしょうか。

Adobeアプリケーションのライセンスがスクールから割り当てられているということであれば、そのスクールに通っているということになるので、スクールの講師に相談されるのがいいかもしれません
（個人的な認識では、ライセンス付与をしそうなところは大学や専門学校などの学校法人くらいしかない覚えがあるのですが……）