イラレ2023保存できない キーボードエラー

別名保存や複製保存のとき、ということでしょうか。

また、OSのシステム設定のほうのプライバシーとセキュリティで、フルディスクアクセスにIllustratorは登録されているでしょうか。

この登録がないとファイルの保存ができない場合はあったりはします。

それとは別に、保存場所を変更したり、ファイル名を変更してみることも必要だとは思います。

（OSが13.3.1というのも結構気になるところではあるのですけれど……ちょこちょことトラブル関連の情報が出てたりするので。ただ自分のところの13.3.1+27.4.1ではデスクトップ上のフォルダなどへの保存はでき来てはいます）

> キーボードの右を押すと

キーボードの右矢印のことですか？

macOS 11.7.6
Illustrator 2023（27.4.1）

この環境で「02.名前を記載」の時点でキーボードの右矢印を押してもなにも問題ありませんでした。

お使いの環境を上記のように記載してみてください。

OSとIllustratorのバージョン違いで発生するかもしれないので。