ログインタブが出たり消えたりでIllustratorが利用不可

下記に関わる件ではないかと思われます。

https://helpx.adobe.com/jp/manage-account/kb/troubleshoot-creative-cloud-sign-out-sign-in.html

また、任意のセキュリティソフトを利用している場合、そのソフトとの相性で問題になる場合はあります。

その点も確認した方がいいかもしれません。

あとスペックとしてでいえば、実際の機種年代やスペック情報、OSバージョンなどの情報があったほうがいいでしょう。

最後に、FAQとして下記に記載がありますが、体験版は契約前の評価目的のために用意されている点は留意しておきましょう。

https://helpx.adobe.com/jp/x-productkb/policy-pricing/cq01271925.html