勝手にファイルが保存されてしまう

ローカルで起きないのであれば、あくまでもNASとの相性問題です。

ただバックグラウンド保存と相性が悪いことはありますので、一度それはOFFにしてみてください。

もっとも、すでに提示されているように、基本はネットワークストレージへの直接保存が推奨されるものではありません。

ちなみにIllustratorの場合、保存先が何であれ、一度拡張子tmpとして保存してからリネームしています。

昔からその挙動ですから、それ自体は仕様です。

あとはネットワークストレージなどの場合はそのリネーム処理がうまく行えないことはありえます。

（そのストレージのファイルシステムやOSのかかわる話ですからある意味当然ともいえます）

なお今回の件とは直接かかわりませんが、マルチポストも適切な行為とは言えませんのでご注意ください。

バグだと思われる場合は，UserVoice に投稿されるのがよいと思います。

Adobe Illustrator（UserVoice ，フィードバックページ） 

データはクラウドドキュメントではありませんか？　クラウドドキュメントは自動保存で、変更の履歴を遡ることができます。
自動保存を避けるにはデータをローカルディスクに（パソコンに内蔵や外付けのSSD、HDDなど）に保存してください。