綺麗にイラストが保存できる方法

「書き出し」で保存しないで、普通に「保存」を使って、ai形式で保存しましょう。

Illustratorを持っていない人に見せる時はPDF形式で保存しましょう。

今どんな方法で書き出していて、「歪んだ」等々と感じていますか？

歪む……ということは通常起きませんから、書き出しの方法以外にもIllustratorのインストール方法なども確認しなければなりません。本当に歪んでいますか？

まず、現在使っているIllustratorのバージョンと、使っているOSの種類（Win10だとか、Mac Mojaveだとか）、書き出しに使っている方法と、どんな設定にして書き出しているのか、できれば書き出し結果も合わせて教えてもらえると回答つきやすいかと思います。