illustrator ccで作業をしていましたら、突然画面中央下部に白い縦長方形の塊が現れました。

あーなるほど。ひょっとしたらライブラリパネルかも？　ワークスペースのリセットで見えたりするかもしれませんね。

メニューバーのCC Desktopアイコンがグレーになっているのが気になってます。

どちらにしてもIllustratorじゃなく、他のアプリが最前面に来て止まっている状態のように見えます。

OS環境とIllustrator CCの具体的なバージョンが不明ですが、

直接かかわるかどうかわからないですが、GPUパフォーマンスがONのようなのでOFFにしてはどうでしょうか。

システム再起動をしても直らないのですか？

Illustratorも関わっているのでしょうけど、どちらかといえばFinderのせいなのではないかと思いました。勘です。例えばFinderの再起動で消えたりしますか？