pngデータを350ppiで1944×1448で書き出したい

一応解決されているようなのですが、もう少し根っこの話をします。

名刺として、350ppiしかないビットマップ画像で品質は大丈夫でしょうか。

小さい文字だとピクセル表現ではジャギーになったり文字表現的に厳しいことはありえます。

Illustratorで作成でベクターのまま出力できるなら、その方がいいとは思います。

単位が書かれていませんが、1944の単位はピクセルでよいですね？

作成しているIllustratorドキュメントはどうやって作りましたか？またサイズはどうなっていますか？

350ppiというのは先方の指定ですか？ 1,944pxを350ppiの密度で並べきると141mmになりますが、名刺はその大きさなのでしょうか。

Illustratorのデータをご希望のサイズで書き出したいができない、ということですね。
72ppiでなら書き出せるのであれば、一度Photoshopで開いて、350ppi（再サンプリングなし）で保存しなおせばいいのではないでしょうか？