PNGファイルのイラストをあとからレイヤーわけする方法

オリジナルサイズで掲載されているようですが、大丈夫でしょうか？

一応念のためですが、このフォーラムはAdobe IDが無くても誰でもどこからでも見られる場所です。

イラストの発注時にパーツを動かす予定を伝えていますでしょうか？もし伝えていない場合、ほぼ全て描き直しになるかもしれません。通常の契約では作成中のファイルは納品物に含まれませんし、パーツ分けすることを事前に知っていなければ、ふつうはそのように描く作業はしないものです。私なら、イチから描き直し＆パーツ分けする作業分の料金が欲しいところですね……

PNGファイルはビットマップで構成されたデータで、レイヤーの概念を持ちません。Photoshopなら選択範囲をレイヤーに切り分けることは可能ですが、前面にあるパーツの後ろには他のパーツはありませんのでパーツごとに分ける行為自体が不可能です。
このケースの場合、イラスト発注の際にIllustratorでパーツごとに分けることが出来るようにデータ作成を依頼すべきです。また、ビットマップの場合はレイヤーを分けることが出来るpsd形式のファイルでの納品を指定すると良いでしょう。
なんにしろ、PNGで来てしまうとその様な用途には不向きです。製作者に問い合わせてIllsutrator形式またはPSD形式でパーツが分かれた状態のものを再納品をお願いするのが妥当かと思います。