広色域ディスプレイでRAW画像を開くと色が変わってくすんでしまい、書き出すと元の色に戻ってしまいます

詳細なお話し、全部を理解しきれてなく、返答が的外れかも知れませんが、取りいそぎお答えさせて頂きます。

まず、LightroomでRAWを開いたとき、同時記録のJPEGと色が異なるのは、どのカメラにおいても起きることで、いわば「仕様」です。

それは何故起きるかというと、カメラメーカーのカラーエンジンと、Lightroomのカラーエンジンが異なるからです。
Lightroomの場合、初期状態ではAdobe Standardというカメラプロファイルによって色が生成されます。（カメラキャリブレーションタブのプロファイル項目をご覧下さい。）
カメラプロファイルが適用されるのはRAWデータの場合だけです。
JPEGはすでにカメラ内で現像され、しかるべきカラープロファイル（sRGBまたはAdobeRGB）が埋め込まれているので、プロファイルのところは「埋め込み」と表示されます。

ごく初期バージョンのLightroomやCameraRawでは、ACRというプロファイルしかありませんでした。
今でも古いカメラのRAWデータに対しては、ACRプロファイルが選べる場合もあります。
ただこの当時から、同時記録のJPEGと色が異なる、カメラメーカーの現像ソフトと色が異なる、という話が出ていました。

その後RAWデータの色生成アルゴリズムが見直され、Adobe Standardというカラープロファイルが適用されるようになりました。

これはAdobeが考えた「色作り」であり、必ずしも現物の色に忠実な色再現ではありません。

私の印象では、やや暖色系、肌色などはマゼンタが多いように思います。（白人の肌色は赤みを加えた方が好まれるからではないかと推測してます。）

Adobe Standardが出来ても、やはり同時記録のJPEGとは色が異なるという問題は残りました。

そこでAdobeは、カメラメーカーの色作りに近づくようなカラープロファイルも作り選択できるようにしました。
ニコンの場合ならピクチャーコントロール、キヤノンの場合はピクチャースタイルにあるプロファイルが選択できるはずです。

D5500で撮影なさったとき、ピクチャーコントロールは何を選択されていたでしょうか？

カメラ設定のピクチャーコントロールに匹敵するカメラプロファイルを選択してやると、同時記録のJPEGに近似するかも知れません。

（ただし、あくまでシミュレーションなので、まったく同じになると言うほど精度は高くありません。また、カメラでコントラストや彩度を変更してあった場合、それらはLightroomで開いたRAWには適用されませんので、カメラプロファイルを変更しても同時記録のJPEGと同じになりません。また余談ですが、シャープネスやノイズ除去もカメラ設定を引き継がずLightroomの初期値で開きますので、同じにはなりません。）

LightroomでRAWを開いた場合カメラ設定が引き継がれないという一番極端な例は、カメラでモノクロに設定したときです。
モノクロ設定でRAW+JPEGで撮ると、JPEGはモノクロになりますがRAWはLightroomで開くと読み込んだ瞬間はファイルに埋め込まれたプレビューによってモノクロとして表示されますが、すぐにLightroom用のプレビュー（これにAdobe Standardが適用されます）が生成されて、モノクロからカラーに変わってしまいます。
再びモノクロにする場合は、カメラプロファイルでピクチャーコントロールを模したモノクロプロファイルを選ぶか、現像設定でカラーから白黒に切り替える必要があります。

LightroomでPhotoshopのような作業用色空間の設定項目が見当たらないとの話ですが、それはずばり！設定がありません。（笑）

それも「仕様」です。

でも色を定義する上で、色空間の設定は必須です。

ではLightroomの作業用色空間は何かというと、Pro Photo RGBです。

Pro Photo RGBはAdobeRGBをも包括する、もっと広い色空間の定義です。
ですがこれは定義だけで、今のところその色空間を包括するデバイス（モニター、プリンター）は存在しません。

なのに何故Pro Photo RGBが使われているかというと、カメラでsRGBやAdobeRGBを設定していてもRAWデータはそれにとらわれず生成されるからです。
順番から言うと、まずカメラのセンサーが記録できる色の範囲でRAWデータが生成されます。
その後JPEGに対しては、設定されたsRGBやAdobeRGBなどの色空間に対して色がマッピングされます。

カメラの記録できる色の範囲は、AdobeRGBよりも広い場合もあるのです。

でも、AdobeRGBをはみ出すような色があっても、高色域モニタではAdobeRGBまでしか表示出来ないんだし、無意味ではないか？と思われるかも知れません。

実はモニターでは表示出来なくても、色数の多いインクジェットプリンターでは、一部AdobeRGBよりも広い色域があるのです。（ここで誤解なさらないで頂きたいのは、おおむねインクジェットプリンタの色域はAdobeRGBよりも狭い部分がほとんどです。ですが一部において、色域がAdobeRGBよりも広くなっています。）

つまりRAWデータでAdobeRGBよりも広い色域までキャプチャできていても、AdobeRGBに展開するとはみ出した部分はクリップされAdobeRGB内に押し込められてしまうので、インクジェットプリンターがそこまでの色域を持っていても利用されない場合があるというわけです。

そこでAdobeは、カメラがキャプチャした色域を欠損することなく展開できる色域、Pro Photo RGBをLightroomの作業用色空間として競ってしたのです。

さて、ご質問に対する回答ですが、

「Lightroom上で RAWを開いた時、正しい色で表示されて欲しい」という問いに対しては上記の通りですが、「IEと同じ見た目で開く」には、まずRAWからJPEGに書き出す必要があると思うのですが、sRGBでもAdobeRGBでも、それこそProPhotoRGBでも、カラープロファイルを埋め込んでJPEGを書き出せば、IEで開いたときも同じ見た目でになると思います。

ただし、これはIEとOSのバージョンにもよります。

過去ログお読み頂いてるようなのでご理解頂ければと思うのですが、私はMacユーザーなのでWindowsのカラーマネジメントについて詳しくありません。

ですがWindows7のIEは、ファイルにカラープロファイルが埋め込まれていればタグを読むと思うので、IEでもほかのカラーマネジメントが働くソフトと同じ見た目になると思います。

Windowsでも古いバージョンのOSのIEは、タグを読まないのでカラー値はsRGBのカラー値として定義され、AdobeRGBが埋め込んであっても色がくすんで表示されます。（同じRGB値でも、色空間が異なるとマッピングされる座標が異なるからです。)

MSペイントや Windows版のGoogle Chromeのことはよく分かりませんが、AdobeRGBを埋め込んだJPEGを開くと色がくすむとしたら、カラーマネジメントが働いてないのではないかと思います。

ちなみにMac版のChromeでは、タグを読み込んでLightroomと近似した色合いで表示されます。

sRGBで書き出してもブラウザによって色が違うのは、上記の通りカラープロファイルを読み取るソフトと無視するソフトがあるからです。

読み取るソフトでは、そのカラーが生成されたときのカラー値からモニターの色空間に変換して表示します。

読み取らないソフトは、sRGBのカラー値だとしてモニターの色空間に変換するか、あるいはまったく初めからモニターの色空間の数値として扱います。

プロファイルを無視してモニターの色空間の数値として扱われると、sRGBまでの色域のモニタではさほど違和感ないのですが、高色域モニタの場合は彩度が上がります。

ということでお分かり頂けたでしょうか？

一気呵成に書いたので、説明不足のところもあるかも知れませんが、ご不明な点はまたご質問下さい。