起動時に毎回「Your project is empty」というメッセージが現れる。なぜ？

BigSurで保存ができない現象が下記リンクにも報告があります。
https://community.adobe.com/t5/after-effectsフォーラム/保存が実行できません/td-p/11770573?page=1

green_curryさんが別に投稿している現象も、BigSur上で保存ができないのが原因だと思います。

macOSのバージョンを戻すのが最善の対処法だと思います。

BigSurで対処法は難しいですが、After Effectsを英語版で起動させる、または、macOSの環境設定のアクセシビリティ／フルディスクアクセス／ファイルとフォルダーの設定でAfter Effectsがフォルダにアクセスできるようにする方法を試してみてはどうでしょう。

あと、After Effectsの対処としては、以前のバージョンに戻すか、ベータ版を試してみる方法も試す事ができます。