illustratorを開いた時

ローカルに保存したデータの場合、作成したファイルのディレクトリを保存した場所から変更すると次に起動した時には表示されません。
クラウドドキュメントの場合は削除できませんので諦めてください。

私は守秘義務などの関係でサムネイルでも見られて困るデータの場合、一番上のレイヤーに全体を覆う長方形を配置して内容を隠すなどしています。

「環境設定 > ファイル管理・クリップボード」の「最近使用したファイルの表示数」を 0 にしてみてください。

開いたファイルの履歴は、任意で消すことができません。

これを行う場合は環境設定自体を消すことが必要になります。

表示自体を出したくない、とした場合、チュートリアルあたりを出しておくくらいでしょうか。

あとは環境設定・一般の「ドキュメントを開いていないときにホーム画面を表示」をOFFにすることでの、ホーム画面を表示させないくらいになります。