アートボードといっしょにレイヤーがコピーされない

コントロールバーにある、このボタンを押してください。

Illustratorの初期設定ではこのコントロールバーが表示されなくなったんですが、出しておくといいと思います。

 イラレ初期設定のワークスペースでも、プロパティパネル内にこの項目があります。

あるいは………

このチェックまたはボタンがオンになっているのにコピーされない、ということでしたら、

最初にこのようなダイアログを見なかったでしょうか。

これは書いてある通りで、ロック（Cmd+2/Ctrl+2）したオブジェクトがあるとアートボードをドラッグコピーしても一緒についてきてくれません。「再表示しない」にチェックを入れてOKしてしまった記憶はありませんか。

この警告ダイアログは、イラレの環境設定＞一般にある「すべての警告ダイアログをリセット」で再び出せるようになります。

まず、

・上で示したチェックやボタンが押されているか

・コピーしようとしているアートボード中にロックされたオブジェクトが無いか（オブジェクトメニューの「すべてをロック解除」が触れるようなら、何かロックされたオブジェクトがあります）

確かめてください。