カラーモードCMYKで制作したイラストのカラーコードが勝手に変更されてしまいます。

そのクライアントさんからカラーコードが指定したものと違うと指摘された際に、「そもそもカラーコードは、RGB値を16進数で表した色の表現法のものだから、CMYKのカラーモードに適用することは不合理につき不適切である」旨を伝えてください。

カラーコードの16進数 #292929 は、RGB値で換算するとR: 41, G: 41, B: 41 です。

これはあくまでも、発光体による加法混合（数値が高くなると明るくなる）の色表現を数値化したもの、つまりRGB形式は「光の三原色」の値です。

RGB — ウィキペディア

加法混合 — ウィキペディア

それに対して、CMYK形式はシアン、マゼンタ、イエロー、ブラックからなる4色のインクを使うプロセスカラー印刷を前提とした色の表現法です。
CMYKは物体の色ですから、減法混合（数値が高くなると濃く暗くなる）です。
CMYK — ウィキペディア
減法混合 — ウィキペディア 

つまりRGB形式とCMYK形式は、まったく別の表現法になります。
ついては、CMYKのカラーモードのドキュメントに、厳格なRGBの値を指定することは不可能なのです。

CMYKとRGBの違い — ウィキペディア 

そのクライアントさんには、「#292929 に最も近いCMYKの混合値は、Adobe Illustrator的にはC: 81.1%, M: 76.3%, Y: 74.4%, K: 53.6%（←％記号をちゃんとつけておくことが肝心）のようだが、それでいいか？」と予めことわっておいた方がいいでしょう。
その際に、インクの総量が285.4%に達するので、果たしてそれで大丈夫か否か、念のため印刷会社さんに確認するよう進言してあげた方がいいでしょう。

これがもしも新聞だとすると、アウトです。

また、そこで単純に #292929 (R: 41, G: 41, B: 41) をK版1色のグレースケールで印刷表現をするのなら、インク量は84％ほどが論理的には妥当かもしれません。
しかしそれは、スクリーン上のR: 41, G: 41, B: 41とはまったく違う明るさになります。
これも、光の色と、物（インク）の色は、その本質からしてまったく異なる、ということの証です。

RGB、CMYKの話は複雑ですので、特に、（私は一番難しいと思っている）グレーバランスの話ですよね。
RGBではsRGB、AdobeRGBプロファイルの違いから、CMYKではプロファイルにK墨版生成のUCR、GCRの話などなど。
クライアントを納得させるのも、話終わってから、で、なんでって、きっとまたなると思いますよ。
やってみせて、こうなるもんだって納得してもらうしかないと思っています。
試しに、こんな画像はどうでしょうか。
K60％あたりのRGB値の例で、なかなか面白いですよ。

>本当でしょうか？

いや本当です。。

指定値を正確に出したければRGBモードの一択です。

CMYKモードでカラーパネルのRGBスライダに入力しても、RGB→CMYK→RGBで解釈された値となります。

RGB→CMYKのとき、極力の近似色が小数で表示されます。そこから、

CMYK→RGBのとき、また極力の近似色に変換されますが、ここで小数第1位の四捨五入が行われます。RGB値に小数は使われないので（とはいえ小数第1位で、てのも乱暴な仕様だなあとは思います）。

現実にCMYKのほうでは1%も違わないので、クライアントをわからせるほかないでしょう。