コンピューターが壊れて新しいのに変更しました。

シリアル番号が不明でも Adobe に登録してあれば表示できます。

Adobe からのダウンロード購入なら、ダウンロードリンクが有ります。

ダウンロードとシリアル番号をクリックすると

CS6????????????????? と表示されているのは「Illustrator_16_Content_LS16.dmg」で CS6 添付フォントです。

新しく購入したパソコンが Mac で OS を Mojave にダウングレード可能ならギリギリ CS6 を使えるはずですがアップデートができませんので、Retina での使用は出来ません。

（例えば購入した Mac が Intel mini 2020 なら Mojave にダウングレードできるはずです。）

ただし Adobe の動作保証はありません。

Windows の場合はわかりません。

新しいパソコン（Windows10やmacOS10.15/11）にインストールできるかどうかは置いておくとして…。

Illustrator CS4, 5, 6 で，Adobeから購入していれば下記リンク先の要領でインストール可能です。

または，Illustrator CS4, 5, 6 のインストールディスクをお持ちでAdobeアカウントに製品登録がなされていればアカウントページに記載されているシリアル番号でインストールできます。

それ以外だと，どうにもならないと思います。

アドビアプリケーションの古いバージョンのダウンロード