「共有とアクセス権」で読み/書き設定したのにillustratorが起動しない！

CoreSync周りまでおかしいとなると全般的にインストール自体が正常に出来ていないか、おかしくなっているのでしょう。まずは、おおもとがおかしな状態だと元も子もありませんから、ディスクユーティリティでストレージのチェックを行ってください。

そのうえでAdobe関連のファイル類を完全にアンインストールします。以下のCreative Cloud Cleaner Toolのページを良く読んで各手順を確実に実行してください。

そのうえでCreative Cloudデスクトップアプリケーションを再度インストールして、そこからIllustratorを再インストールしてください。

これは新たに完全なクリーンインストール処理を行うという事ですから、これで改善しない場合はmacOSに問題がある可能性が高くなります。

Creative Cloud Cleaner ツールを使用して、インストールに関する問題を解決 (adobe.com)