本人確認が繰り返し表示されてしまいます。

まず、ハードウェア情報やOS、アプリケーションのバージョンと言った情報がありませんので一般論で書きます。
本来ならば、一度認証すると一定期間認証情報は確認されないのですが、認証の際に適切にその情報が保存されていないのだと考えられます。一度、IllustratorだけでなくAdobe関連の情報をCC Creaner Toolを利用して完全に削除した上で再インストールする等の処置が必要かもしれません。また、問題はOSやログインしているユーザーの情報等に起因することも考えられます。その他、ストレージに不具合が存在する場合もそのような事が起きる可能性もありますので、新たに管理者ユーザーをOSに追加してそちらで確認したりするなど、OS側の問題に対して総合的に対処する必要があるかもしれません。