【至急】書き出し(jpeg、png、pdf)時と、スマホへ送信した時に　色がくすんでしまう

> 作成時のカラーモードはCMYK
とのことですが、もしや、元来、印刷物向けに作成した制作物だったのでしょうか。

もしそうだとすると、デジタルデバイスによるオンスクリーンでの表示時に、閲覧者が持つ印象よりもくすんで見えて（そう思えて）しまうことが多々あります。
つまり、印刷物では十分な鮮やかさの印象を得られても、そのCMYKデータをデバイスのディスプレイで表示しただけでは、たとえ同一のデータであっても、くすんだ印象を得てしまうというものです。

これは、カラーモードやプロファイルの色域の問題ではなく、印象に関する心理の問題です。
ついては、オンスクリーンに向けたRGBのデータファイルを用意する際に、ただカラーモードを変換するだけでなく、あえてトーンを調整することをします。

もちろん、この作業で得られる色合いは人工的で擬似的なものですが、オンスクリーンでの閲覧者が「観たい」と抱いているものに近づけることができます。

こちらは古岡ひふみさんによる、Photoshopでの手法になります。
効果的で、とても分かりやすい記事でもあります。
Illustratorから一度、PSDやPNGの形式で書き出してから、こちらの方法で対応してみてください。

【色調補正】CMYK画像をRGB変換で鮮やかに再現する方法【Labカラー】

その後どうなりましたでしょうか？

結論から言えばこれは仕方ないことです。

モバイル機ごとに違うかと思いますが、Instagramであれば、Webブラウザを通して画像を見るため、sRGBプロファイルのRGB画像で見ていることになるかと思います。
sRGBプロファイルは大抵のモニターで表示できるだろうという感じのもので、元々色域は狭いです。
Adobe系アプリでのAdobeRGB、iPhone上でのDisplay P3 RGBプロファイルからすると、どうしてもくすんで見えます。
例えばオレンジ色あたりはかなり違うと思います。

彩度が狭いだけでなく色相も少し違いますので、違った色味に感じることもあります。
印刷用プロセスカラーであるCMYKの色域も当然狭いですがsRGBと色域が違うことと、RGBに変換した時に彩度が若干下がる傾向があります。（逆もまた同じです）

Web用画像をIllustratorで制作するときはWebブラウザ、モバイル機を意識してはじめからsRGBで制作しましょう。

分かりやすい参考はEIZOさんところのこことかどうでしょうか。
【連載】制作者のための「Webカラマネ講座」 モバイルデバイス編
https://www.eizo.co.jp/eizolibrary/color_management/webcm03/

後からもう少しどうにかしたいのであれば、画像にしたファイルをPhotoshopで開き、カラー設定をsRGBにして、色相・彩度のバランスの調整をすればうまくいくかもしれません。

CMYKは印刷媒体向けのモードなので、今回はどこかのタイミングでRGBに変換する必要があります。

元データがCMYKのままでも、カラープロファイルを適切に管理できていれば、そこそこまあまあいい感じにRGB変換できます。

matsumoto_pさんからの回答に付け加えて、

・どのような方法でJPEGを書き出したか（スクリーン用に書き出し、Web用に書き出し、など）

・Illustratorのカラー設定はどうなっているか（編集メニュー > カラー設定のスクリーンショットを掲載してください：個人情報の漏洩には気をつけつつ）

・どのスマホ

自分が作成したデータをWeb用に書き出す際の方法を記載します

1.カラー設定を変更

「編集」メニュー→「カラー設定」を開き、「一般用-日本2」に

2.Illustratorでデータを作成

「新規ドキュメント」ダイアログでWebやモバイルを選択してドキュメントを作成

3.スクリーン用に書き出し

「ファイル」メニュー→「書き出し」→「スクリーン用に書き出し」を使用してWeb用の画像を書き出す。

書き出しダイアログの設定はこんな感じです。

以上、ご参考まで

お使いの環境（OS・アプリケーションのバージョン）や画像の書き出し設定、差し支えなければどのように色が変化しているのかが分かるスクリーンショットがあると回答がつきやすいです。
お急ぎであるのは分かるのですが、操作や設定の詳細が分かりません。
回答でなくて申し訳ないですが、解決のヒントになるような情報がもう少しあるとよいのではないかと思います。