新規購入したPCに製品版のLr5を改めてインストールしたがシリアルが無効になっている

alpha7さんの補足ですが、Ver.5で10.10までが対応OSになっています。

旧バージョンの対応 OS： Photoshop Lightroom

あわせて、macOS自体、旧環境との互換性がかなり低いOSになっていますので、

極論、OSバージョンが一つ上がるだけでも、従来動作のアプリケーションは動かなくなります。

インストーラーやシリアル認証もプログラムですから、

動作するプラットフォームの互換性に依存してしまうのは仕方ありません。

特にmacOSはサポート期間が短いことも踏まえて、アプリケーションも短期で刷新するしかなく、

結果として現行のサブスクリプションが適正、ということになってしまいます。

余談ですけど、OS X 10.7（2011年7月リリース）以降からがOS毎年リリース＋サポート期間3年になっています。

その翌年からAdobe製品はサブスクリプション体系に移行しています。

そのあたり、実は相関関係があるんじゃないかと個人的には思っています。

（Appleの体制にあわせてAdobe製品もサブスクリプション化によって毎年リリース状態なので）

既知の問題 - macOS 10.14 (Mojave) における Lightroom Classic および Lightroom CC の実行

Lightroom5系とMojaveは動作が確認された環境ではないとの事です。

サポートもしてないでしょうから、

古い環境を用意して使うか、

最新版を購入して使用するしか策がないと思います。