残り時間０：００：０１でエンコードが止まってしまう

差し支えございませんでしたら、お使いのOSの種類とバージョン、そして一応Media Encoderのバージョン（現時点で最新のリリースのv23.4かと思いますが、ベータ版では無いことの確認という意味も含めまして……）をお書き添えいただけますと、解決のヒントもしくは不具合の出る条件が絞り込めるかもしれません。

症状的には、おそらくH.264などのMP4の書き出しで、内部的に音声と映像を別々のファイルで書き出したのちに1個のMP4ファイルにまとめる「マルチプレクス」の段階で止まっている（もしくは著しく時間がかかっている）状況ではないかと思います。

【追記】

念のためグローバル版のフォーラムを見てみましたら、類似する症状の報告が上がっていました。残念ながら、今のところあまり情報は多くないです……。

Media Encoder taking a long time to mux H.264 vide... - Adobe Support Community - 13849461  

「古いVerに戻すことで解決」とのことなのでご使用は2023/6時点での最新Verを使用されているということだともしかすると未知のバグなどの可能性もあります。

ただ、今のところ最後の数秒で止まるというのは見かけないので個別の環境依存の可能性もあるため一旦トラブルが起こった際にできること、見直せることを記載してみます。

・キャッシュを削除
・使用している素材、及び保存フォルダ、プロジェクト名、書き出しファイル名に日本語が使われてる場合に半角英数字に置き換える
・素材、書き出し先が外付けを使用している場合、全て内蔵に保存する
・保存先が階層の深い場所などを使用している場合、デスクトップなど浅い階層に書き出す
・問題のある箇所のみイン・アウト等を活用して個別に書き出してみる
・平面にエフェクトを使用している場合はオフにしてみる
・画像シーケンスとして書き出してみる