イラストの動かし方

基本的にはおっしゃる通り切り抜いた画像をレイヤー分けして動かしているものかと思います。

>背景と人物が一緒に動き、さらに人物に動きがあるのはどうやっているのでしょうか？別々に動かしていくとどうしてもズレが出てきてしまいます。

これもおっしゃる通り、別々に動かすのは至難の業だと思います（演出など意図的に微妙に違う動きをつける手法もありますが……）。

こういった場合、「被写体の動き」と「視点（カメラがあると仮定してそのカメラワーク）の動き」は分けて考える必要がございます。

被写体側の動きは前述のとおりですが、カメラ側の動きという意味では被写体側の動きを作った後でネストし、それに対してモーションで動きをつけるといった方法があります。ただし、その場合は実際に使うよりも大きなフレームサイズのシーケンスで作成しておく必要がありますので、なにかと面倒だったり処理が重くなる可能性はあります。

私個人的には、After Effectsを使ったほうがやりやすいように思います。