プレミアプロ　立ち上げ時に高確率でタイムラインパネルが赤くなり、映像が流れません。

なかなか面倒かと思うのですが、表示される警告やエラーメッセージの内容は正確に記載していただくと、より的確な返信がつきやすくなると思います。

おそらく、

>立ち上げ時に、出てくる警告（？）の検索ボタン

というのは、「メディアのリンク」というウインドウだと思うのですが、これは基本的には毎回立ち上げ時に出てくることはないはずのウィンドウです。

そして、

>問題の「立ち上げ時に赤くなること」

というのは、「メディアのリンク」画面で「オフライン」を選ぶなどしたために、次回以降立ち上げ時に「メディアのリンク」画面が表示されずオフライン（赤い状態）になっているのだと思います。

とりあえずリンクさせるため、赤くなってしまっているクリップを全部選択し、「ファイル」メニューから「メディアをリンク...」を選択して「メディアのリンク」画面を出して、検索してリンクさせていただくといかがでしょうか。

プロジェクトを保存した後にプロジェクトファイルを移動したり、映像・音声などの素材ファイルを移動・削除、名前の変更などするとリンクが外れてしまう可能性があるので、もしそのような操作をなさってましたら避けていただくと問題は起きなくなるのではないかと思います。