PDFをIllustratorで開けると文字が消える

Illustrator自体がPDFを確実に開いて編集できるソフトではなく、独自解釈して開いているだけにすぎません。

位置をずらすだけでいえばAcrobatの編集機能でできる可能性はあるものの、それでもその後の使い方次第ではその編集を行うこと自体にリスクがあります。

理想論はオリジナルデータまでさかのぼって処理するべきですし、どうしてもそのPDFでとした場合、データに不整合が起きても責任を問われないことを承諾してもらってから引き受けるべきでしょう。