Indesignで書き出しをする際にエラーメッセージが表示されて次に進められません。

最初のエラーで出ている通り、そこに記されている簡体中国語のフォントが埋め込めないのでエラーになっています。

x-1aはフォントを埋め込む仕様なので、埋め込むことができないフォントがあるとこのエラーが出ます。

スクリーンショットでは2種類の簡体中国語フォントをお使いですが、多分そこで表示されている名称が欧文になっているため、どっちかわからないということでしょう。

それはちょっと調べてここに書き足します。

また、フォントの変更禁止ということであれば、PDFにフォントを埋め込むことができませんので、開く側でも同じフォントを使わないと正常に開けないPDFしか作成できません。

X1-Aの規約上、埋め込みは必須です。
印刷で使用する以上、埋め込んでいないPDFの出力結果は保証できません。

今時、意味もなく埋め込みを禁止したフォントはないので、STフォントのライセンスを一度確認されたほうが良いと思います。
ライセンス上問題がなく、どうしても使用するなら、アウトライン化するしかないでしょうね。