indesign で作成したドキュメントをPDF書き出しプリセットから高品質印刷で書き出しすると、イラストレーターが立ち上がります。

Yamo74さんのご指摘に補足にはなりますが、

Finderで拡張子の関連付けを変更し、別のソフト（Acrobat Reader等）に変更してみてください。

ただInDesignを利用するとなると、それで作成するPDFはPDF/Xなどの印刷用途ということはないでしょうか。

その場合は印刷データとしてのチェック用に、Acrobat Proによるプリフライトが欠かせないところです。

なおサポート総合案内 (Japan) から InDesignコミュニティフォーラム (Japan) に移動しました。

プリセット書き出しダイアログの一般で「書き出した後PDFを表示」のチェックを外してください。

ただ、通常はAcrobatが起動します。Illustratorが起動するのはOSのデフォルトアプリケーションをそう設定したからでしょう。

IllustratorのアンインストールはCCであればCCデスクトップから行いますが、Illustratorアプリのフォルダ内に「Adobe Illustrator CC 2019 をアンインストール」等入っていないでしょうか？