InDesign サインインが必要です

残念なことに InDesign v9.x はAdobeが使用を認めていないバージョンですので（bizarre_nさんが触れられている一昨年のポリシー変更によります），あらためてライセンス認証させる方法はないだろうと思います。

非認定バージョンの削除 

TimeMachineの復元で移行したのがいけないのでしょう。

本来ならばインストールし直すべきですが、バージョンの関係でできないということであれば、元のMacBookAirで作業するしかありません。

これは一昨年のポリシー変更でそうなってしまっているので致し方ありません。

避けるためにはグループ版を契約されて、インストーラを確保していくしか今の所手段はありませんし、該当インストーラが入手できる時期にグループ版を契約していなければそれもできません（事前に備えておくことしかできず、困ってからでは手段がない）。

外付けのモニタを購入されて、MacBookAirで作業されてはいかがでしょうか。