パソコンを買い替えアップグレード版がインストールできない

一応お二人に補足しておくと、CS5として動作保証されるOSはWindowsでもサポートが終わっている7までです。

https://helpx.adobe.com/jp/illustrator/kb/6388.html

あとはどのようにインストールできないかです。

本来はkatayanagi51さんが仰るように、アップグレード元がインストールされていなくてもインストールは可能です。

（インストール→アップグレード版シリアル番号を入力→アップグレード元の番号を入力、の流れです）

Ten Aさんが書かれているとおりなのですが，Windows10機ならインストールできる可能性がほんの少しあるので補足しますと，CS2はインストールされていなくてもアップグレード版CS5のインストールは可能です（インストール時にCS2，CS5双方のシリアル番号が必要）。

プラットフォームは何でしょう？
Macの場合はインストールすることは出来ません。Windows10でも最近のバージョンではインストールがうまく行かないケースが多いようです。
アプリケーションというのはリリースされた当時のハードウェアやOS上で安定動作するようにチューニングされます。リリースから10年以上が経過していますので残念ながら諦めるほか無いでしょう。