突然 CS6 が使えなくなり、困っています。

「以下の場所に保存されている「Adobe Illustrator ＜バージョン＞ Settings」フォルダーをデスクトップへドラッグ＆ドロップします。

Macintosh HD/ユーザ/＜ユーザ名＞/ライブラリ/Preferences」

この場所を開くのは慣れていない方には難しいので、

Finderの「移動」メニューをoptionキーを押しながら開いて、表示されている「ライブラリ」を選択してください。

上記のライブラリフォルダが開かれるので、「Preferences」フォルダを探し、

その中の「Adobe Illustrator CS6 Settings」フォルダをまるごとデスクトップへ移動させます。

そのあとでIllustratorを開いてみてください。

動作保証外の環境である時点で自己責任でしかない、という他ないところです。

困っているとした場合、当時レベルの環境でオフライン認証でのインストールを行って、完全オフラインで利用するしかないでしょう。

もちろん、利用に相応の制限がかかりますが（サブスク系フォントが使えないなど）、これは致し方ないでしょう。

ちなみにmacOS 10.14もすでにApple自体のサポートは終わっています。

「周辺環境が CS6にしか対応していないため」ということですが、具体的にはどのような感じでしょうか。
InDesignですとメジャーアップデートによるドキュメントの異動がかなり問題になりますが、Illustratorではそれほどではなかったかと思います。
周辺環境が物理的なものなら、通常はアプリケーションの問題ではなく、OSもしくはハードウェアの問題になるかと思います。

もしCS6でしか動かないプラグインが必須である、といったようなことであれば、また違った解決方法をご存知の方もいらっしゃるかもしれません。
OSがすでにMojaveになっているということですので、無理にCS6を使い続ける策を求めるよりも、これを機会にCCにアップデートされたほうがよいのではないかと思う次第です。

ご存知のようにCatalina以降は64ビット切り捨ての件もあり、CS6はどうがんばっても動きません。
MacももうM1チップのマシンに置き換わっていってしまうので、OSはMonterey以降というのが主流になってしまうでしょうし…

まず，CS6の対応OSは公式にはMacOSX10.8までですから，macOS10.14でこれまで使用できていたのがラッキーだったのだと思います。また「予期しない理由で終了という表示」「使用できない状態」という情報のみで「解決策」を言い当てるのはなかなか困難だと思います。前置きです。

とりあえずやれることを上げるとしたら，環境設定ファイルが壊れていないかどうかの確認と，OSのユーザーアカウントが壊れていないかどうかの確認でしょうか。ほか，「おかしいなと思ったら…」は参考にされるとよいと思います。

アップデータファイル（すでに提供終了）を保管されているのであれば再インストールという手もあるのですが，Mojaveに直接というのは難しいかもしれません（検索するといろいろ出てきます）。