Illustrator CS６　再インストール

Adobeアカウントにサインインした後のメッセージでしょうか。

Adobe アカウントに製品が登録されていないと認証できないかもしれません。

本来でいえばCS6のバージョン自体が公式ではWindows 10にも正式対応していません。

（2012年リリース、2014年サポート終了なので、Windows 10リリースの前年に終了です）

行うとしたらテキストエディタに入力したものをコピー＆ペーストで通る場合はありますものの、保証の限りではありません。

個人向けのパッケージは2012-2013年にしか販売してなかったものなのですが、その頃には通っていたものなのでしょうか。

Windows11自体CS6リリースから10年程後のOSですから互換性は低くなっている事、認証サーバーもいつ止まるかわからない状況です。諸々勘案すると新しいバージョンに移行すべきでしょう。