After Effects 2021 起動しない

macOS 13の場合でいえば２バージョン離れてるので、後方互換静的にはより厳しいという話にはなります。

動作環境から外れる場合、どの程度正常に動くかは、ソフトがどれだけ簡単な作りか・複雑なのかで結構変わりますし、複雑なソフトであるほど動作的には厳しいところです。

MacがmacOS 11インストール可能なものであればOSをクリーンインストールして戻す、などの対応も選択肢の一つにはなるのですが、Adobeアプリケーション側のインストール方法がない限り、それも現実的な選択肢とは言えないところです。

（先述のようにグループ版でのインストーラー確保済みかもあるのですが、macOSの場合はOSのセキュリティアップデートがOSのリリース時期からおよそ3年しかなく、セキュリティが切れたOSを使うこと自体を関係者に理解してもらえるか、という高いハードルがあります）

サードパーティのプラグインはインストールされてなかったのでしょうか？

CommonのPlug-insフォルダーは、サードパーティのプラグイン専用になるのでインストールされていない場合は、Commonフォルダーには全くフォルダーが無い状態になると思います。

ちなみに、Finderのメニューから移動できるライブラリには、キャッシュなどのフォルダーはありますがPlug-insフォルダーは元からありません。

インストールしたプラグインが全て削除できている場合は、Macをセーフモードで起動させてAfter Effectsが動作するか確認してみてはどうでしょう。
セーフモードで起動できる場合は、セキュリティソフトなどのバックグラウンドで動作しているソフトが影響している可能性も考えられます。

それと、Adobe After Effects 2021 ▶ Plug-insのプラグインを全削除されたとのことですが、標準プラグインを削除していないでしょうね。