見開きの親ページを使用したデータに、奇数分のページを追加しても問題が出ないようにしたい

これはbizarre_nさんの言う通り、左右ページが入れ替わった時、親ページが適用し直されるために起きる現象です。現状これを完全に避ける手段はありません。
少し手間ですが、次のような方法を使うことで回避する手段があります。

1.　オーバーライドしないオブジェクトだけの親ページを作成する（B-固定）

2.　それを親ページとした、オーバーライドするオブジェクトのみを配置した親ページを作成する（A-override）

 （わかりやすくするため、レイヤーカラーを赤にしています）

3.　版面サイズのテキストフレームを作成し、そこにオブジェクトの数だけ行を作成する。今回の例はオブジェクトが2つなので2行です。

4.　今回の場合、すべての行の行揃えをノド揃えにする（レイアウトによっては小口揃えにしたり、オブジェクトの位置によっては混在もあり）

5.　本来オーバーライドしたいテキストフレームをアンカー付きオブジェクトとして挿入する

（ここまでが親ページA-overrideの設定です）

6.　各ページに親ページAを適用する

7.　ここでドキュメントを保存(^-^)

8. 　各ページでオーバーライドをして編集します。オーバーライドの対象は版面サイズのテキストフレームになります。

9.　編集したページに親ページBを適用する

10.　これで奇数ページが挿入されても「親ページの再適用」は行われないため、余計なテキストフレームは発生しません。そして、ノド揃えにしているので、テキストフレームの位置も意図したとおりになります。

ちょっと面倒ですが、確実な方法です。

この運用だと必ずこの結果になります。

（奇数ページの増減によって左右ページが入れ替わった時、親ページが適用し直されるために起きる現象です）

これを回避するためには、プライマリテキストフレームを適切に使用することが必要ですが、その場合、親ページ上に設定したプライマリテキストフレームにはテキストを入れておけませんので（入れるとコンテンツを保持したままテキストフレームを変更することができないため）、ドキュメントの設計をやり直す必要があるでしょう。

親ページの上にテンプレートっぽいテキストを置いておいてコピペコピペで運用する場合は、左右ページが入れ違ったときに二重化させない方法がありません。

次善の策として、親ページは空っぽにしておいて、スニペットで初稿を作ることが考えられます。

なお、いずれの機能も（プライマリテキストフレームとスニペット）かなり前からあったもので、またこの問題も以前からずっとこの仕様です。

差し込むのではなくて、変えたい奇数のページとかを選択して、親ページを適用から追加で作った親ページを選択して適用ではダメですか？