Adobe　Expressの無料版を個人版で作成したものを、公共施設がチラシとして使用するのは問題ないですか？WEB上での掲載も可能でしょうか

これはどの様な立場の方が制作するかで異なります。
デザイン会社等が公共施設の依頼を受けてExpressでデザインを行う場合、クライアントワークと呼ばれる行為に該当します。Expressで利用可能なテンプレートや画像は限定ライセンスと呼ばれるライセンスにて提供されるもので、商用利用も可能ですがクライアントワークとしての利用が禁止されています。
一方、公共施設が自らの広報のために利用する場合、このクライアントワークには該当しない為に限定ライセンスで供与されるアセットの利用が可能です。
この様にExpressでの制限はExpress自体の利用の問題よりテンプレートや付随する画像などのアセットのライセンスによるものとなります。テンプレートを利用せず、画像や部品なども自分でアップロードした場合は何の制限もありません。
詳しくは以下のページをご確認下さい。

https://www.adobe.com/jp/express/learn/blog/commercial-use