異体字が字形パネルに表示されるが、レイアウトに反映されません

これはフォント内の設定に原因があるよくあるケースですね。

InDesignでの対処方法は、Ten Aさんの回答の通り文字パネルの言語を英語にします。

Illustratorでちゃんと表示されるのは、文字パネルの言語がデフォルトで英語だからです。

日本語として扱っているために指定した字形属性が標準字形にフォールバックしています。文字パネルで言語の部分を「英語-米国」とすれば意図した字形を指定可能ではないかと思います。