Illustrator CS6のインストーラはmacOS High Sierra 10.13.3に対応していません。
ダウンロードしたのは「Illustrator CS 6 英語 (International), 英語 (Universal), 日本語」の1/2と2/2ですね。
どのように開けないのか書いてありませんが、これが表示された後、開くをクリックすると

これが表示されるのではありませんか。

動作保障外ではありますけど macOS 10.12における CS6 のインストール時の対処法があります。こちらは試してみて下さい。なお Adobe Support Advisor はサポート終了していますから、無視してください。
macOS 10.12 (Sierra)における Creative Suite のインストール
無事にインストールできてもmacOS High Sierra 10.13.xではIllustrator CS6は動作が保証されていませんから、その点注意して下さい。
またアップデータインストーラもmacOS High Sierra 10.13.xには対応していませんから、ターミナルでの操作が必要になると思います。
また macOS High Sierra 10.13.3 は特に理由がなければ 10.13.4 にアップデートしておいて下さい した方が宜しいかと思います。
-- silk-m