過去に購入したillustratorを別のPCにインストールできない。

現状ではどこに問題があるはっきりしないため、一度Illustrator をアンインストールし、再度「体験版（試用版）」としてインストールしてください。

Adobe ID のサインインが問題なくでき、30日体験版として起動できればネットワーク関連は問題ないと思います。

その後、シリアル番号を入力してライセンス認証を試してみてください。

あと、環境はある程度書いたほうがいいです。

仕事ではなく趣味で使用していて Illustrator にこだわる必要がなければ Affinity Designer に移るというのはどうでしょうか。

V2リリース記念で応援の意味で買ってまだ使えていないので日本語の処理などが問題ないかなどはまだわかっていませんが。

入力ミスしておらず，assauseさん提示の方法でダメだとすると，あとはオフライン認証ですかねぇ。

インストールに関して諸々解決しても，アップデータの提供は終了していますし，すべての機能が正常に使える保証はないですし，CreativeCloud への移行を検討するよい機会かもしれないです。

シリアル番号の入力ミスという可能性はありませんか？

ダウンロードしたということは、Adobe アカウントからのダウンロードだと思いますので

そこに書かれているシリアル番号をコピーして

入力欄に貼り付けてみましょう。

右クリックでの貼り付けができない場合は、ctrlキーと v キーを同時に押すと

貼り付けることができます。

あと、アカデミック版の場合、Windows版とMac版両方のシリアル番号を取得している場合

間違って Mac版のシリアル番号を入力した可能性もあります。

バージョンからすると永続版CS6だと思いますし、画面からするとWindows 10以降と思いますが、組み合わせとしては動作保証外です。

シリアル番号の認証もプログラムで動くものなので、動作保証外環境で正常動作するという保証はありません。

ちなみに当時のバージョンですと、IEモジュールで認証行っていますが、それ自体もIE自体のサポート終了前に変更されています。

契約如何に関わらずCreative Cloud デスクトップアプリケーションを入れることで認証周りは更新されますが、それでもCS6がWindows 10以降で動作保証外なのは変わりありません。