こんばんは
>デスクトップとタスクバーにある、どちらのAdobe Photoshop Elements 15アイコンをクリックしても、Elements Organizerが立ち上がってしまいます…。
そのアイコンはご自身で設定したのでしょうか。そして設定したときからElements Organizerが立ち上がっていたのでしょうか。
次のように行えば、Photoshop Elements 15のショートカットアイコンから起動できると思います。Windows 11での説明です。
①下記パスに従ってフォルダーを遡ります。
C:¥Program Files¥Adobe¥Photoshop Elements 15
②Photoshop Elements 15フォルダーに「PhotoshopElementsEditor.exe」ファイルがあります。
③そのファイルの上で右クリックし開いたコンテキストメニューから「ショートカットの作成」を選択します。
④開いた「ショートカット」ウィンドウで、そのまま「はい」をクリックします。
⑤デスクトップに「PhotoshopElementsEditor.exeショートカット」アイコンが作成されます。

⑥「PhotoshopElementsEditor.exeショートカット」アイコンをダブルクリックすると起動すると思います。
*2024年2~3月頃からElements系 2018?以前の古いバージョンで、PCの初期化や新PCへの切り替えの再インストール等で、ライセンス数オーバーの表示が出てインストールできないという症状が発生しています。今回の場合も最悪インストールできなくなるリスクもあることを承知の上で行ってみていただけますか。