購入後コード入力してからイラストレーターが立ち上がりません

それだけでは何とも言えません。

少なくとも下記の確認は必要です。

• 利用OSバージョンは何でしょう
• 既にデスクトップアプリケーションとIllustratorはインストールしていますか
• アカウント管理でプランが登録されている状態でしょうか
• 確実に契約中のAdobe IDで、デスクトップアプリケーションでログインしているでしょうか
• している場合は、デスクトップアプリケーションでログアウトと再ログインを行ってみましょう

なお Illustrator (en) から アカウント / 支払い / プラン (jp) に移動しました。

Without any system info and a bettér explanation of what "does not start" means we can't really tell you much. From licensing issues to technical problems this could be anything. You need to be more specific and provide the necessary details.

Mylenium