パッケージ版のillustratorCS6を起動しようとすると、期限切れの体験版illustratorCCが起動してしまいます。

話だけで言えば下記に関わってくるところだと思いますが……。

CreativeCloud契約終了後、シリアル番号インストールしたCS6が起動不可になってしまう場合の対処

そもそもの話になりますが、永続ライセンス版のCS6とCCライセンスは共存できません。

どちらもAdobe IDを使用しますが、CCとしての認証情報のほうが強力であるためです。

使用するとしたらどちらか一方だけになります。

After EffectsやPremiere Proがコンプリートプランか単体プランかわかりませんが、

もし両者が単体プランだとしたら、コンプリートプランとしてまとめてしまうのが確実です。

またMac環境のようですが、OSバージョンは何でしょうか。

CS6製品は10.9までが動作保証範囲で、CC 2017などとは共存できません。

よってIllustratorについても環境移行はいずれにしても考える必要が出てきます。

Read Cloud takes over https://forums.adobe.com/thread/2089127 for some ideas (see reply #1)