一度ダウンロードしたAi を別のパソコンで使用したいのですが

アドビジャパンフォーラムをご利用いただきありがとうございます。

内容からダウンロード、インストール、セットアップ コミュニティへ移動いたしました。

ダウンロードでしょうか、それともインストールでしょうか。

用語としては異なるものになるので、正確に記載されることをおすすめします。

また今回の場合、Illustratorのバージョンやインストール先のOSは何でしょうか。

それ次第でも話が異なります。

永続ライセンス版のCS6以下の場合については、旧PCからは認証解除＋アンインストールしたうえで、

動作保証されているインストール先OSでインストール処理（認証処理は原則自動）が必要です。

Creative Cloudについては下記の各文書が、制限事項も含めて参考になるところです。

2 台目のコンピューターにインストールする方法（Creative Cloud）

Creative Cloud アプリケーションをライセンス認証またはライセンス認証解除する方法の説明

なお質問される際はOSバージョンや具体的な利用バージョンなどを記載しましょう。

（ジャパンフォーラムのトップページ右上のテンプレートを最低限の基準として下さい）