購入したにも関わらず、体験版になってしまいます。

日本語のトラブルシューティング文書は下記になります。

https://helpx.adobe.com/jp/creative-cloud/kb/cq03240539.html

ただ、アカウント管理にプランは反映されているでしょうか。

複数のAdobe IDを所有している場合は、契約中以外のIDでデスクトップアプリケーションでのログインをしているケースもありますので、その確認もしてみましょう。

なお Download & Install (us) から Creative Cloudのダウンロードとインストール (jp) に移動しました。

Revert to trial https://helpx.adobe.com/manage-account-membership/cc-reverts-to-trial.html may help
-and troubleshooting FAQ https://community.adobe.com/t5/Get-Started/Troubleshooting-FAQ-What-should-I-do-if-I-have-a-membership-but/td-p/7601068
-and https://helpx.adobe.com/creative-cloud/kb/cloud-website-shows-trial-purchase.html