illustratorのインストール完了後にまたインストールボタンが表示される。

OS環境等が不明ですが、たとえばセキュリティソフト、その他常駐系ソフトウェアの阻害によって

インストールができないケースがあります。

普通はインストールを押せばプログレスバーがデスクトップアプリケーションで表示され、

インストールが完了すれば「開く」ボタンなどから開けるようになります。

いずれにしても現状ではどのような環境・導入プロセスで現状に至ったのか不明ですので、

まずは具体的な状況の整理を行っていただくのがいいでしょう。

Illustrator自体はOS内にインストールされた状態になっていますでしょうか？

Macの場合：アプリケーションフォルダ

Winの場合：Programフォルダ

インストール自体は完了している場合、

張り付けて頂いた画像のツールからサインアウトしサインインする事により改善する場合がございます。

もしインストール自体がエラー等が表示されできない場合は下記のトラブルシューティングを実施されるとよいかと思われますー

Adobe Creative Cloud のダウンロードとインストールの問題をトラブルシュート

またご使用になられているOSやVerなど記載頂く事により

適切な回答が来やすくなりますー。