レイヤーの描画モードは、レイヤースタイルには影響せず、個々の効果は各々が独自の描画モードを持ちます。
そして、今回あやしいのはグラデーションオーバーレイです。
Photoshop上でグラデーションオーバーレイをカチカチしてみてください。
不透明度を下げてあるか、描画モードが通常以外になっているはずです(たぶん)。
Premiereとの連携には疎いため最適解は出しあぐねますが、
最適じゃなくてもよければ、
・座布団レイヤーの「塗り」を0%に、描画モードは不問
・座布団レイヤーを効果の個数だけ複製(4こに)
・それぞれを1つだけ残して非表示に
・Premiere上で個別に配置してそれぞれ描画モードを設定
でいけるはずです(たぶん)。
ajabon grinsmithさん、ありがとうございます。
やはりグラデーションオーバーレイが今回の厄介なところですよね……。
green_curryさんへ
昼休みに入りましたので、添付していただいた画像を眺めながらなぜデザイナーさんが「乗算」をお使いになったのか考えていたのですが、ひとつの可能性としてその長方形が「白い塗り」で作成されていて、デザイナーさんが白を透過させてグラデーションの方を生かすために「乗算」を使った可能性もあるのではないか?、と思いました。
全然見当違いかもしれないのですが、余裕がありましたら単純に長方形の「塗り」を0%にしていただいて、「乗算」を「通常」に戻してご覧いただくといかがでしょうか。
解説の画像を追加します。
まず、現状がこのような状態だったとします。

座布団として、白い長方形を作成していますが、「乗算」することで透明にしています。(真っ白で乗算することは、数学でいうと1を掛けることになるので、変化なし、つまり見た目では透過したようになります。)
そのうえでグラデーションオーバーレイで白~黒のグラデーションをかけています。
上記画像の状態から、長方形の描画モードを「乗算」から「通常」にしてみます。

白い長方形を使用していますので、座布団の背景は透過せず、べた塗りの白の上にグラデーションがかかった状態になります。
ここでさらに、「塗り」を0%にしてみます。

長方形の白い「塗り」が0%になりましたので、背景が透過してきます。そこにグラデーションが乗ってきますので、見た目は1枚目の画像と全く同じ効果が得られます。
この状態でしたら、当初のご質問の通りPNGに書き出しても正しく透過します。
以上は私の推測にすぎず、仮にこの方法でうまくいきそうだとしましても、デザイナーさんはもっと深い理由で乗算を使われているかもしれませんので、やはり一応一度デザイナーさんとご相談していただいた方が良いとは思います。