保存時のICCプロファイル、sRGBの埋め込みについて

>保存する際に

Photoshopから保存する方法はいくつかあります。どの保存方法を使っていますか？

Lightroom ClassicではなくただのLightroomだと思いますが、通常、現像中のRAWをメニューから「Photoshopで開く」すると、ProPhoto RGBプロファイルが埋まった状態でPhotoshopに渡されるはずです（Adobeカラーを選べていることからJPEG等ではないはず）。

https://iwashi.org/archives/5767

↑を参考に、Photoshop上でどのプロファイルで開いているのか一応確認してみてください。

>モニターで見ている色に一番近く保存を行いたいときは、チェックを入れ直した方がいいのか、外したままがいいのか、どちらでしょうか？

どこでどう使いたいのかによりますが、普通は、RGB画像にはプロファイルを埋め込むのが定石です。