画像の色あせを防ぐにはどうすればいいですか？RGBからCMYKにする場合

lab経由の色変換は手間の割に効果が限定的ですから、考慮から外してしまいましょう。

正直、Labへモード変換するくらいなら、RGBモード（元データ）のままトーンカーブ調整レイヤーの描画モードを輝度にしてコントラスト付ける→彩度調整機能のいずれかを使って調整（自然な彩度か特定色域の選択）、の方がはるかにコントローラブルで良い結果になるでしょう。

Lab変換でのCMYK分版はバズりの元が一つのblogですし、あまりアテにしない方がよいと思います。

サンプルの変換結果はJapan Color 2001 Coatedですね。濃紺が灰色になるのが特徴です。

編集＞プロファイル変換から、Japan Color 2011 Coated、マッチング方法知覚的を選んで変換してみてください。濃紺部分はかなりマシになると思います。

※このような絵柄で、「相対的な色域を維持」を選んではいけません。

または、RGB元画像のまま、表示＞校正設定＞カスタムでJapan Color 2011 Coated、知覚的を選んで校正表示し、

・トーンカーブ調整レイヤーを描画モード通常で乗せてコントラストを付ける

・（さらに付けたい場合はトーンカーブ調整レイヤーの描画モードを輝度にしてコントラストをつける）

・特定色域の選択で、「相対値」を選びブルーからイエローを抜き、ブラックを入れる

・同様にマゼンタからイエローを抜き、ブラックを入れる

とやると印象が変わってくるかと。

※RGBモードで使う特定色域の選択では、ブラックスライダを動かすと指定の色にコントラストが着きます。

いい感じになってきたら、改めて編集＞プロファイル変換からJapan Color 2011 Coated、知覚的を選んで変換してください。

（Japan Color 2001 CoatedとJapan Color 2011 Coatedは相互に互換はしませんが、まあこういう極端な色のものなら気にならないでしょう）

皆さんが書かれているように、CMYKの表現できる範囲とRGBのそれとはカタチも大きさも変わるので、重なる部分はそれほど変わらず出ても重なっていない部分はそもそも出ません。

「RGB印刷」とうたって高彩度オンデマンド印刷機を使っている印刷会社に、RGBのまま（CMYK変換せず）入稿すれば下図の色範囲よりは少し拡がるため、満足できるかもしれません。

▼2011/特定色域の選択/トーンカーブの例

紫の炎、いいお題ですね。これはインク次第かと。
通常印刷のCMYKではDICのプロセスカラーチャート以上の彩度は無理です。
https://www.dic-global.com/ja/news/2021/products/20210902141518.html

CMYKモードで、画面全体のバランスで調整するしかありません。
みなさんがやられてるLabモードからの変換の強みはL版（明度版）がありライトシャドウの再現が良いからかと思いますが、今回の場合はあまり効果がないかもしれません。
カラーモードを変更するたびにノイズやカラー情報が失われていきますのであまりお勧めではありません。
alpha7さんのカーブから（青空の色調整と同じで）Y版を削れば紫の濁りがもう少し取れるかと思います。

Ten Aさんが言っておられる様に、RGBのままインクジェット（多色搭載）機で出力すればあっさり出ます。
インクジェット機には各社様々ですが特色ブルー、特色バイオレットインク搭載機などもあります。
RGBといえども、この画像はsRGBですので結構余裕です。
（試しに出力してEIZOモニタと見比べましたけどバッチリでしたよ）
多色インクジェット機はAdobe RGBに近い表現が可能です。

alpha7さんのお話で蛍光色とありますが、蛍光色とは色ではなく蛍光増白剤（洗濯洗剤に入ってます）で白さ鮮やかさがブーストされているので蛍光インクでないと表現できません。
（不可視の紫外線が可視光に変換され光っている様に感じる状態です。）
インクジェット専用の安めのマット紙系はインクの沈みが無く表面乱反射の効果（と蛍光増白剤が使ってあるせい）で割と蛍光色に近い色が出ることもあります。

インクジェット機では捺染プリンターでは蛍光インク搭載機があります。
蛍光インクの弱点は耐光性がないということらしいですので、看板系、アート系にはなかなか難しいかもしれませんが、最近CANONから10色+蛍光ピンクというのが出ましたので、ちょっと気になってます。
https://canon.jp/business/solution/pro-printer/imageprograf/lineup/gp4000-2000-300-200/feature-highquality-10color-fp
インクジェット機での10色以上のコントロールはかなり難しいとのことでしたので、そこに蛍光色が入るとなると禁断の領域に突入かもしれませんね。

元よりガモットが狭いCMYKへの変換ですから完全な再現は不可能です。最終的な出力先はなんでしょう？
一般的なオフセット印刷ではなく、プリンターやオンデマンドを想定しているのならCMYK変換せずにRGBのまま通すという手もあるかと思います。

PhotoshopでLabモードでいじったところで、最終的にCMYKにしたらダメじゃんというのを思いました。

熟練の技がある方ならCMYKで蛍光ピンクが出せるのかもしれませんが、検索してみるとCMYKだと難しいような事が。。。

印刷じゃなくて、銀塩でも蛍光色は出ないのです。

トーンカーブでいじってみましたが、こんな感じに。

彩度を足しても、これ以上鮮やかにならないので、蛍光色は単純にCMYKだけでは無理なのかも。

重複投稿されていたので（マナー的によろしいとはいえません）

Photoshopフォーラム投稿分をなくして、

回答のついていたIllustratorフォーラム投稿分をPhotoshopフォーラムに移動しました。

少なくともIllustratorでは太刀打ち厳しい内容ですねー。

こちらの方法はどうでしょうか。

【色調補正】CMYK画像をRGB変換で鮮やかに再現する方法【Labカラー】

追記

Illustratorだけでは無理でしょうね。画像ファイルをPhotoshopで開いて加工する必要があります。