AdobeCCのコンプリートプランを使用しているのにillustrator等がインストールできない

ログインに利用しているAdobe IDが契約しているもの以外を利用しているのではないでしょうか。

複数のIDを所有している場合にはその可能性が高いものになります。

一度WebブラウザでAdobeサイトにログインし、アカウント管理で契約プランを確認することと同時に、デスクトップアプリケーションでのログインIDもチェックしてみてください。

もしIDがひとつしかない、ということであれば、サポートに連絡することになります。

ちなみにインストール可能なアプリケーションは無償プランが用意されるもの、または無償範囲でも利用できるものだと思います。

なお Creative Cloudサービス から Creative Cloudのダウンロードとインストール に移動しました。