今まで使えていたIllustratorがライセンス承認の失敗で開けません。

アドビジャパンフォーラムをご利用いただきありがとうございます。

内容からダウンロード、インストール、セットアップ コミュニティへ移動いたしました。

単純な認証関連のトラブルだけでいえば下記が参考になるところですが……。

Creative Cloud のライセンスに関するトラブル全般の対処

今回の場合、大学から付与されているライセンスなので、それがどのような状態かもありますし、

ネット接続だけでいえば接続環境の問題でもあるので回線の管理者にも関わってきます。

もし回線も大学での利用であれば、いずれにしても大学側にも確認してはどうでしょうか。