過去に購入した製品（Photoshop elements)を、新しいPCにダウンロード・インストールしなおしたいのですが。シリアル番号等はわかっています。

インストーラーの入手、ということであれば、下記より行ってみてください。

Photoshop Elements のダウンロード | 2018、15 および 14

Photoshop Elements 13、12、11、10、9、8、および 7 のダウンロード

ただし、必要システム構成はそれぞれのバージョンに依存します。

新しいPCということだとOSも新しいものであるはずですので、

古いバージョンが必要システム構成を満たさずに正常に動作しない可能性は出てきますので、

その場合は最新版へのアップグレードが必要です。

なお質問される際はOSバージョンや具体的な利用バージョンなどを記載しましょう。

（ジャパンフォーラムのトップページ右上のテンプレートを最低限の基準として下さい）