iPad Air第三世代でイラストレーターのファイルが開けなくなりました。

この症状は特定のファイルで起きるものですか？ もしそうなら、そのファイルが壊れてしまったと考えられます。どのファイルでも起こるのであればIllustratorが壊れた可能性があります。iPad版だとユーザーがあれこれ操作出来ませんので、アンインストールした上で再インストールを試すぐらいしか手立てがありません。
念の為に既存のデータをバックアップした上で、設定→一般→iPadストレージ→IllustratorとナビゲートしてAppを取り除くをタップします。その後、メモリ関連もクリアするためにiPadを再起動します。起動したら再度インストールして状況を確認してください。この手順ではデータや設定などは削除されないはずです。
もし、これでも状態が変わらなければAppを取り除くではなくAppを削除を実行します。こちらは既存のデータなども完全に削除されますので必要なドキュメントは確実にバックアップを取っておいてください。