Photoshop初心者です。バナーを作ると、画質や文字が汚く仕上がります。

画像解像度ダイアログや書き出しの話ではなく、画像の自由変形等での話でしたら、環境設定＞一般の「画像補間形式」を確認してください。

文字の場合は、文字パネルの矢印部分を確認してください。

直らない場合、その「ガビガビ」な状態のスクリーンショットを掲載するとよいかと思います。

Photoshopのバージョンが不明ですが、書き出し方法はどのようにやっているのでしょうか？

メニューから「ファイル」→「書き出し」→「書き出し形式」で書き出している場合、再サンプルの設定によって拡大・縮小の画像の生成方法が変わりますので、他の人のPhotoshopと設定を合わせるようにしてみてください。

何も考えなければ縮小書き出しは「バイキュービック自動」で良いでしょう。